Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 27*х=1026
- Уравнение cosx/3=-1
- Уравнение √(x-8)=12
-
Уравнение (x-2)/5+(2x-5)/4+(4x-1)/20=4-x
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x-2*y=6
- 2*x-6*y=-4
- 6*x+3*y=-15
- 2*x+8*y=15
-
Идентичные выражения
- cos^2x-sinx= ноль
- косинус от в квадрате x минус синус от x равно 0
- косинус от в квадрате x минус синус от x равно ноль
- cos2x-sinx=0
- cos²x-sinx=0
- cos в степени 2x-sinx=0
- cos^2x-sinx=O
-
Похожие выражения
- cos^2x+sinx=0
cos^2x-sinx=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right)^{2} - \left(-1\right) 4 \cdot 1 = 5$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right)^{2} - \left(-1\right) 4 \cdot 1 = 5$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Быстрый ответ
[src]
/ / ___________\\ / / ___________\\
| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
| | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 ||
x_1 = - 2*re|atan|- - + ----- + --------------------|| - 2*I*im|atan|- - + ----- + --------------------||
\ \ 2 2 2 // \ \ 2 2 2 //
$$x_{1} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}$$
/ ___________\
| ___ ___ / ___ |
|1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 |
x_2 = 2*atan|- + ----- + --------------------|
\2 2 2 /
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
/ / ___________\\ / / ___________\\
| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 ||
x_3 = 2*re|atan|- - ----- + --------------------|| + 2*I*im|atan|- - ----- + --------------------||
\ \2 2 2 // \ \2 2 2 //
$$x_{3} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}$$
/ ___________\
| ___ ___ / ___ |
|1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 |
x_4 = 2*atan|- + ----- - --------------------|
\2 2 2 /
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ / ___________\\ / / ___________\\ / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / ___________\
| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | ___ ___ / ___ |
| | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 | | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 |
- 2*re|atan|- - + ----- + --------------------|| - 2*I*im|atan|- - + ----- + --------------------|| + 2*atan|- + ----- + --------------------| + 2*re|atan|- - ----- + --------------------|| + 2*I*im|atan|- - ----- + --------------------|| + 2*atan|- + ----- - --------------------|
\ \ 2 2 2 // \ \ 2 2 2 // \2 2 2 / \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \2 2 2 /
$$\left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}\right) + \left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}\right) + \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}\right) + \left(2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right)$$
=
/ / ___________\\ / ___________\ / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| | ___ ___ / ___ || | ___ ___ / ___ | | ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
| | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 | | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 ||
- 2*re|atan|- - + ----- + --------------------|| + 2*atan|- + ----- + --------------------| + 2*atan|- + ----- - --------------------| + 2*re|atan|- - ----- + --------------------|| - 2*I*im|atan|- - + ----- + --------------------|| + 2*I*im|atan|- - ----- + --------------------||
\ \ 2 2 2 // \2 2 2 / \2 2 2 / \ \2 2 2 // \ \ 2 2 2 // \ \2 2 2 //
$$- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}$$
произведение
/ / ___________\\ / / ___________\\ / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / ___________\
| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | ___ ___ / ___ |
| | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 | | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 |
- 2*re|atan|- - + ----- + --------------------|| - 2*I*im|atan|- - + ----- + --------------------|| * 2*atan|- + ----- + --------------------| * 2*re|atan|- - ----- + --------------------|| + 2*I*im|atan|- - ----- + --------------------|| * 2*atan|- + ----- - --------------------|
\ \ 2 2 2 // \ \ 2 2 2 // \2 2 2 / \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \2 2 2 /
$$\left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}\right) * \left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}\right) * \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}\right) * \left(2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right)$$
=
/ / / ___________\\ / / ___________\\\ / / / ___________\\ / / ___________\\\ / ___________\ / ___________\
| | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||| | | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||| | ___ ___ / ___ | | ___ ___ / ___ |
| | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 ||| | | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 || | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 - \/ 5 ||| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 1 + \/ 5 |
-16*|I*im|atan|- - ----- + --------------------|| + re|atan|- - ----- + --------------------|||*|I*im|atan|- - + ----- + --------------------|| + re|atan|- - + ----- + --------------------|||*atan|- + ----- + --------------------|*atan|- + ----- - --------------------|
\ \ \2 2 2 // \ \2 2 2 /// \ \ \ 2 2 2 // \ \ 2 2 2 /// \2 2 2 / \2 2 2 /
$$- 16 \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 1}}{2} \right)}\right)}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)} \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 15.0417238354565
x2 = 52.740835678534
x3 = -81.0151695608421
x4 = 88.6308337330067
x5 = -18.1833164890462
x6 = -68.4487989464829
x7 = 84.1567622144319
x8 = -72.9228704650578
x9 = -85.4892410794169
x10 = -55.8824283321238
x11 = -41.5069439291598
x12 = -49.5992430249442
x13 = 21.324909142636
x14 = 46.4576503713544
x15 = 76.0644631186476
x16 = 63.4980925042884
x17 = -35.2237586219802
x18 = -16.3742027004415
x19 = 19.5157953540313
x20 = 25.7989806612109
x21 = -269.51072877623
x22 = 38.36535127557
x23 = 103.006318135971
x24 = -91.7724263865965
x25 = 65.3072062928931
x26 = -11.9001311818667
x27 = -3.80783208608231
x28 = 82.3476484258271
x29 = -66.6396851578782
x30 = -54.073314543519
x31 = 44.6485365827496
x32 = 27.6080944498156
x33 = -99.8647254823809
x34 = 33.8912797569952
x35 = 32.0821659683904
x36 = 0.666239432492515
x37 = -22.6573880076211
x38 = 77.8735769072523
x39 = 6.9494247396721
x40 = -62.1656136393034
x41 = -93.5815401752013
x42 = 94.9140190401863
x43 = -87.2983548680217
x44 = 8.75853852827686
x45 = -37.032872410585
x46 = -24.4665017962258
x47 = 69.781277811468
x48 = -79.2060557722373
x49 = -60.3564998506986
x50 = -5.61694587468707
x51 = 2.47535322109728
x52 = 40.1744650641748
x53 = -30.7496871034054
x54 = 96.7231328287911
x55 = 50.9317218899292
x56 = -47.7901292363394
x57 = -10.0910173932619
x58 = -43.3160577177646
x59 = 90.4399475216115
x60 = -98.0556116937761
x61 = 71.5903916000727
x61 = 71.5903916000727
График