√(2х+7)-√(2-x)=2 уравнение

Дано уравнение
$$- \sqrt{- x + 2} + \sqrt{2 x + 7} = 2$$
Возведём обе части уравнения в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{- x + 2} + \sqrt{2 x + 7}\right)^{2} = 4$$
или
$$1^{2} \cdot \left(2 x + 7\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(- x + 2\right) \left(2 x + 7\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(- x + 2\right)\right) = 4$$
или
$$x - 2 \sqrt{- 2 x^{2} - 3 x + 14} + 9 = 4$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{- 2 x^{2} - 3 x + 14} = - x - 5$$
Возведём обе части уравнения в(о) 2-ую степень
$$- 8 x^{2} - 12 x + 56 = \left(- x - 5\right)^{2}$$
$$- 8 x^{2} - 12 x + 56 = x^{2} + 10 x + 25$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 9 x^{2} - 22 x + 31 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -9$$
$$b = -22$$
$$c = 31$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-22\right)^{2} - \left(-9\right) 4 \cdot 31 = 1600$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = - \frac{31}{9}$$
Упростить
$$x_{2} = 1$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{- 2 x^{2} - 3 x + 14} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$$
и
$$\sqrt{- 2 x^{2} - 3 x + 14} \geq 0$$
то
$$\frac{x}{2} + \frac{5}{2} >= 0$$
или
$$-5 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = - \frac{31}{9}$$
$$x_{2} = 1$$
проверяем:
$$x_{1} = - \frac{31}{9}$$
$$- \sqrt{- x_{1} + 2} + \sqrt{2 x_{1} + 7} - 2 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{2 - - \frac{31}{9}} + \sqrt{2 \left(- \frac{31}{9}\right) + 7}\right) - 2 = 0$$
=

-4 = 0

- Нет
$$x_{2} = 1$$
$$- \sqrt{- x_{2} + 2} + \sqrt{2 x_{2} + 7} - 2 = 0$$
=
$$-2 - \left(- \sqrt{2 \cdot 1 + 7} + \sqrt{\left(-1\right) 1 + 2}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{2} = 1$$