Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 2-3(2x+2)=5-4x.
- Уравнение 10/28=х/1,4
- Уравнение х-1/2=4+5х/3
- Уравнение 5х²=12х
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -5*x+3*y=6
- 5*x-10*y=2
- 6*x-10*y=-9
- 3*x-8*y=12
-
Идентичные выражения
- четыре x^ три -4= ноль
- 4x в кубе минус 4 равно 0
- четыре x в степени три минус 4 равно ноль
- 4x3-4=0
- 4x³-4=0
- 4x в степени 3-4=0
- 4x^3-4=O
-
Похожие выражения
- 4*x^3-4=0
- 4x^3+4=0
- x^4+4*x^3-4*x^2+11*x-2=0
- 4*x^3-4*x=0
4x^3-4=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$4 x^{3} - 4 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{4}$$
или
$$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в левой части уравнения
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Разделим обе части уравнения на 2^(2/3)
Получим ответ: x = 1
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$4 x^{3} - 4 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{4}$$
или
$$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в левой части уравнения
x*2^2/3 = 2^(2/3)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x*2^2/3 = 2^2/3
Разделим обе части уравнения на 2^(2/3)
x = 2^(2/3) / (2^(2/3))
Получим ответ: x = 1
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Теорема Виета
перепишем уравнение
$$4 x^{3} - 4 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - 1 = 0$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -1$$
$$4 x^{3} - 4 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - 1 = 0$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -1$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
1 + - - - ------- + - - + -------
2 2 2 2
$$\left(1\right) + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
1 * - - - ------- * - - + -------
2 2 2 2
$$\left(1\right) * \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 1
$$x_{1} = 1$$
___
1 I*\/ 3
x_2 = - - - -------
2 2
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x_3 = - - + -------
2 2
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x2 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x3 = 1.0
x3 = 1.0
График