Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 2x^2+5x-7=0
- Уравнение 3х-(5х-9)=61
- Уравнение -13+x=-5
- Уравнение 17х-х+5х-1,9=17
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x-3*y=11
- 3*x-5*y=12
- -15*x+3*y=6
- 5*x-2*y=-15
- Разложить многочлен на множители:
- a^3-27
-
Идентичные выражения
- a^ три - двадцать семь
- a в кубе минус 27
- a в степени три минус двадцать семь
- a3-27
- a³-27
- a в степени 3-27
-
Похожие выражения
- a^3+27
a^3-27 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$a^{3} - 27 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 a + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{27}$$
или
$$a = 3$$
Получим ответ: a = 3
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = a$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = a$$
$$a = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$a_{1} = 3$$
$$a_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$a_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$a^{3} - 27 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 a + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{27}$$
или
$$a = 3$$
Получим ответ: a = 3
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = a$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = a$$
$$a = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$a_{1} = 3$$
$$a_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$a_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$a^{3} + a^{2} p + a q + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -27$$
Формулы Виета
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = - p$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = q$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = v$$
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = 0$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = -27$$
$$a^{3} + a^{2} p + a q + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -27$$
Формулы Виета
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = - p$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = q$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = v$$
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = 0$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = -27$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
3 + - - - --------- + - - + ---------
2 2 2 2
$$\left(3\right) + \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
3 * - - - --------- * - - + ---------
2 2 2 2
$$\left(3\right) * \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) * \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
27
$$27$$
Быстрый ответ
[src]
a_1 = 3
$$a_{1} = 3$$
___
3 3*I*\/ 3
a_2 = - - - ---------
2 2
$$a_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
___
3 3*I*\/ 3
a_3 = - - + ---------
2 2
$$a_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
a1 = -1.5 + 2.59807621135332*i
a2 = -1.5 - 2.59807621135332*i
a3 = 3.0
a3 = 3.0
График