Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 4*x^2-15*x+9=0
-
Уравнение 6=8-5(7x-1)
-
Уравнение 2cos^2x=1
-
Уравнение 4/(x+3)=5
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
-
Идентичные выражения
- 2cos^2x= один
- 2 косинус от в квадрате x равно 1
- 2 косинус от в квадрате x равно один
- 2cos2x=1
- 2cos²x=1
- 2cos в степени 2x=1
-
Похожие выражения
- √2*cos^2(x)+cos(x)=0
2cos^2x=1 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$0^{2} - 2 \cdot 4 \left(-1\right) = 8$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$0^{2} - 2 \cdot 4 \left(-1\right) = 8$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
pi 3*pi 5*pi 7*pi -- + ---- + ---- + ---- 4 4 4 4
$$\left(\frac{\pi}{4}\right) + \left(\frac{3 \pi}{4}\right) + \left(\frac{5 \pi}{4}\right) + \left(\frac{7 \pi}{4}\right)$$
=
4*pi
$$4 \pi$$
произведение
pi 3*pi 5*pi 7*pi -- * ---- * ---- * ---- 4 4 4 4
$$\left(\frac{\pi}{4}\right) * \left(\frac{3 \pi}{4}\right) * \left(\frac{5 \pi}{4}\right) * \left(\frac{7 \pi}{4}\right)$$
=
4 105*pi ------- 256
$$\frac{105 \pi^{4}}{256}$$
Быстрый ответ
[src]
pi
x_1 = --
4
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
3*pi
x_2 = ----
4
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
5*pi
x_3 = ----
4
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{4}$$
7*pi
x_4 = ----
4
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{4}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 32.2013246992954
x2 = 3.92699081698724
x3 = -77.7544181763474
x4 = -11.7809724509617
x5 = -47.9092879672443
x6 = 14247.9080821931
x7 = -85.6083998103219
x8 = -33.7721210260903
x9 = -91.8915851175014
x10 = -54.1924732744239
x11 = -46.3384916404494
x12 = -82.4668071567321
x13 = 24.3473430653209
x14 = 96.6039740978861
x15 = 52.621676947629
x16 = 68.329640215578
x17 = -69.9004365423729
x18 = -99.7455667514759
x19 = -90.3207887907066
x20 = 87.1791961371168
x21 = 66.7588438887831
x22 = 62.0464549083984
x23 = -16.4933614313464
x24 = -79.3252145031423
x25 = 55.7632696012188
x26 = -27.4889357189107
x27 = 25.9181393921158
x28 = -84.037603483527
x29 = -98.174770424681
x30 = 30.6305283725005
x31 = 10.2101761241668
x32 = -25.9181393921158
x33 = -71.4712328691678
x34 = -63.6172512351933
x35 = -2.35619449019234
x36 = 99.7455667514759
x37 = 60.4756585816035
x38 = 91.8915851175014
x39 = -76.1836218495525
x40 = -10.2101761241668
x41 = -3.92699081698724
x42 = -41.6261026600648
x43 = 74.6128255227576
x44 = -49.4800842940392
x45 = 88.7499924639117
x46 = -13.3517687777566
x47 = -57.3340659280137
x48 = 84.037603483527
x49 = -12461.9126586273
x50 = 19.6349540849362
x51 = 90.3207887907066
x52 = 47.9092879672443
x53 = 2.35619449019234
x54 = -60.4756585816035
x55 = -35.3429173528852
x56 = -55.7632696012188
x57 = 82.4668071567321
x58 = 46.3384916404494
x59 = -38.484510006475
x60 = 27.4889357189107
x61 = 63.6172512351933
x62 = -40.0553063332699
x63 = 38.484510006475
x64 = 384.059701901352
x65 = 5.49778714378214
x66 = -5.49778714378214
x67 = 11.7809724509617
x68 = 44.7676953136546
x69 = -68.329640215578
x70 = -93.4623814442964
x71 = 69.9004365423729
x72 = -19.6349540849362
x73 = 41.6261026600648
x74 = 40.0553063332699
x75 = -1131.75875345572
x76 = -32.2013246992954
x77 = 76.1836218495525
x78 = 33.7721210260903
x79 = 22.776546738526
x80 = 85.6083998103219
x81 = -18.0641577581413
x82 = 54.1924732744239
x83 = -62.0464549083984
x84 = 18.0641577581413
x85 = -24.3473430653209
x86 = 162.577419823272
x87 = 98.174770424681
x88 = 49.4800842940392
x89 = 77.7544181763474
x90 = 8.63937979737193
x91 = 16.4933614313464
x91 = 16.4933614313464
График