Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 16sin^4x+8cos2x-7=0
-
Уравнение 3х+29=4х-3(2х-3)
-
Уравнение x^3=125
-
Уравнение x^2-x+1=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
-
Идентичные выражения
- 16sin^4x+8cos2x- семь = ноль
- 16 синус от в степени 4x плюс 8 косинус от 2x минус 7 равно 0
- 16 синус от в степени 4x плюс 8 косинус от 2x минус семь равно ноль
- 16sin4x+8cos2x-7=0
- 16sin⁴x+8cos2x-7=0
- 16sin^4x+8cos2x-7=O
-
Похожие выражения
- 16sin^4(x)+8cos2x-7=0
- 16sin^4x-8cos2x-7=0
- 16sin^4(x)+8cos(2x)-7=0
- 16sin^4x+8cos2x+7=0
16sin^4x+8cos2x-7=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Вы ввели
[src]
4 16*sin (x) + 8*cos(2*x) - 7 = 0
$$16 \sin^{4}{\left(x \right)} + 8 \cos{\left(2 x \right)} - 7 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$16 \sin^{4}{\left(x \right)} + 8 \cos{\left(2 x \right)} - 7 = 0$$
преобразуем
$$16 \sin^{4}{\left(x \right)} - 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$16 \sin^{4}{\left(x \right)} - 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Дано уравнение:
$$16 w^{4} - 16 w^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = w^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$16 v^{2} - 16 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 16$$
$$b = -16$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 16 \cdot 4 \cdot 1 + \left(-16\right)^{2} = 192$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = w^{2}$$
то
$$w_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$w_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$w_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$w_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$w_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = \frac{\left(-1\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{4} = \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$16 \sin^{4}{\left(x \right)} + 8 \cos{\left(2 x \right)} - 7 = 0$$
преобразуем
$$16 \sin^{4}{\left(x \right)} - 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$16 \sin^{4}{\left(x \right)} - 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Дано уравнение:
$$16 w^{4} - 16 w^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = w^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$16 v^{2} - 16 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 16$$
$$b = -16$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 16 \cdot 4 \cdot 1 + \left(-16\right)^{2} = 192$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = w^{2}$$
то
$$w_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$w_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$w_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$w_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$w_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = \frac{\left(-1\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{4} = \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Быстрый ответ
[src]
-11*pi
x_1 = ------
12
$$x_{1} = - \frac{11 \pi}{12}$$
-7*pi
x_2 = -----
12
$$x_{2} = - \frac{7 \pi}{12}$$
-5*pi
x_3 = -----
12
$$x_{3} = - \frac{5 \pi}{12}$$
-pi
x_4 = ----
12
$$x_{4} = - \frac{\pi}{12}$$
pi
x_5 = --
12
$$x_{5} = \frac{\pi}{12}$$
5*pi
x_6 = ----
12
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{12}$$
7*pi
x_7 = ----
12
$$x_{7} = \frac{7 \pi}{12}$$
11*pi
x_8 = -----
12
$$x_{8} = \frac{11 \pi}{12}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
-11*pi -7*pi -5*pi -pi pi 5*pi 7*pi 11*pi ------ + ----- + ----- + ---- + -- + ---- + ---- + ----- 12 12 12 12 12 12 12 12
$$\left(- \frac{11 \pi}{12}\right) + \left(- \frac{7 \pi}{12}\right) + \left(- \frac{5 \pi}{12}\right) + \left(- \frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{5 \pi}{12}\right) + \left(\frac{7 \pi}{12}\right) + \left(\frac{11 \pi}{12}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
-11*pi -7*pi -5*pi -pi pi 5*pi 7*pi 11*pi ------ * ----- * ----- * ---- * -- * ---- * ---- * ----- 12 12 12 12 12 12 12 12
$$\left(- \frac{11 \pi}{12}\right) * \left(- \frac{7 \pi}{12}\right) * \left(- \frac{5 \pi}{12}\right) * \left(- \frac{\pi}{12}\right) * \left(\frac{\pi}{12}\right) * \left(\frac{5 \pi}{12}\right) * \left(\frac{7 \pi}{12}\right) * \left(\frac{11 \pi}{12}\right)$$
=
8 148225*pi ---------- 429981696
$$\frac{148225 \pi^{8}}{429981696}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -52.0980781720307
x2 = 22.2529479629277
x3 = -37.9609112308767
x4 = 67.8060414399797
x5 = -45.2912940892529
x6 = 64.1408500107916
x7 = -21.7293491873294
x8 = -74.0892267471593
x9 = 30.1069295969022
x10 = 44.2440965380563
x11 = 87.7027949127151
x12 = 78.2780169519457
x13 = 52.0980781720307
x14 = -23.8237442897226
x15 = -9.68657734856853
x16 = -1.83259571459405
x17 = -30.1069295969022
x18 = -28.012534494509
x19 = -59.9520598060052
x20 = -97.6511716490827
x21 = 88.2263936883134
x22 = -31.6777259236971
x23 = -64.6644487863899
x24 = 71.9948316447661
x25 = -39.5317075576716
x26 = 9.16297857297023
x27 = 81.9432083811338
x28 = -79.8488132787406
x29 = 23.8237442897226
x30 = -17.540558982543
x31 = -50.0036830696375
x32 = -53.6688744988256
x33 = 96.0803753222878
x34 = 126.972703082587
x35 = 45.8148928648512
x36 = 93.9859802198946
x37 = 100.269165527074
x38 = -93.9859802198946
x39 = 26.4417381677141
x40 = -78.2780169519457
x41 = 42.1497014356631
x42 = -43.720497762458
x43 = 6.02138591938044
x44 = -65.7116463375865
x45 = -13.8753675533549
x46 = -71.9948316447661
x47 = 56.2868683768171
x48 = 2103.55808096617
x49 = -83.5140047079287
x50 = -35.8665161284835
x51 = -61.5228561328001
x52 = 15.9697626557481
x53 = -86.1319985859202
x54 = 37.9609112308767
x55 = -96.0803753222878
x56 = 50.0036830696375
x57 = -89.7971900151083
x58 = 89.7971900151083
x59 = -64.1408500107916
x60 = 92.9387826686981
x61 = 62.5700536839967
x62 = 28.012534494509
x63 = -75.6600230739542
x64 = -45.8148928648512
x65 = 59.9520598060052
x66 = 34.2957198016886
x67 = 48.4328867428426
x68 = 12.30457122656
x69 = 85.0848010347236
x70 = -67.8060414399797
x71 = 86.1319985859202
x72 = -100.269165527074
x73 = 1.83259571459405
x74 = 468.359104772678
x75 = 66.2352451131848
x76 = -6.02138591938044
x77 = 92.4151838930998
x78 = 0.261799387799149
x79 = -34.8193185772869
x80 = -15.9697626557481
x81 = -42.1497014356631
x82 = 8.11578102177363
x83 = -57.857664703612
x84 = 70.4240353179712
x85 = -20.1585528605345
x86 = -12.8281700021583
x87 = 20.1585528605345
x88 = 4.45058959258554
x89 = 74.0892267471593
x90 = -87.7027949127151
x91 = -81.9432083811338
x91 = -81.9432083811338
График