Господин Экзамен

Другие калькуляторы


y'=y

Дифференциальное уравнение y'=y

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до

Решение

Вы ввели [src]
d              
--(y(x)) = y(x)
dx             
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$
y' = y
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y' + P(x)y = 0$$,
где
$$P{\left(x \right)} = -1$$
и
и называется линейным однородным дифференциальным уравнением 1го порядка:
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Данное уравнение решается следущими шагами:
Из $y' + P(x)y = 0$ получаем
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = -1$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx = \int \left(-1\right)\, dx = - x + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного уравнения:
$$y_{1} = e^{C_{1} + x}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + x}$$
что соответствует решению с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C e^{x}$$
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=y\left(0\right)\,e^{x}$$
y = y(0)*E^x
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
1st linear
1st linear Integral
1st power series
Bernoulli
Bernoulli Integral
almost linear
almost linear Integral
lie group
nth linear constant coeff homogeneous
separable
separable Integral
Численный ответ [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 6.920861621442101)
(-5.555555555555555, 63.86442821962763)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)
График
Дифференциальное уравнение y'=y