Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y``-2y`+y=0

Дифференциальное уравнение y``-2y`+y=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                 2                 
    d           d                  
- 2*--(y(x)) + ---(y(x)) + y(x) = 0
    dx           2                 
               dx
$$y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$ 
y - 2*y' + y'' = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = -2$$
$$q = 1$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 2 k + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = 1$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = 1$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{x} + C_{1} e^{x}$$
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=x\,e^{x}\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x \right)\right|_{x=0}\right)-y\left(0\right)\,x\,e^{x}+y\left(0 \right)\,e^{x}$$ 
y = x*E^x*('at('diff(y,x,1),x = 0))-y(0)*x*E^x+y(0)*E^x
Ответ [src] 
                    x
y(x) = (C1 + C2*x)*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{2} x + C_{1}\right) e^{x}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous
    © Господин Экзамен – Калькулятор