Дифференциальное уравнение y′′+y=x+2ex

Step

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x + 2 e^{x}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = 0$$
$$q = 1$$
$$s = - x - 2 e^{x}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = - i$$
$$k_{2} = i$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни имеют чисто мнимый вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}$$

Step

Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + C_{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = x + 2 e^{x}$$
Значит, система примет вид:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = x + 2 e^{x}$$
или
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = x + 2 e^{x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)} + e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + C_{3} + \cos{\left(x \right)}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)} - e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + C_{4} - \sin{\left(x \right)}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + C_{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
Получаем окончательный ответ:

Answer: $$y{\left(x \right)} = x \sin^{2}{\left(x \right)} + x \cos^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} + C_{3} \sin{\left(x \right)} + C_{4} \cos{\left(x \right)}$$

где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы