Дифференциальное уравнение y"+25y=sin5x

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

⌨

Решение

Вы ввели [src]

            2                 
           d                  
25*y(x) + ---(y(x)) = sin(5*x)
            2                 
          dx

$$25 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$

25*y + y'' = sin(5*x)

Подробное решение

Step

Дано уравнение:
$$25 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = 0$$
$$q = 25$$
$$s = - \sin{\left(5 x \right)}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + 25 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = - 5 i$$
$$k_{2} = 5 i$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни имеют чисто мнимый вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(5 x \right)} + C_{2} \cos{\left(5 x \right)}$$

Step

Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + C_{2}{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$
Значит, система примет вид:
$$\sin{\left(5 x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \cos{\left(5 x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(5 x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$
или
$$\sin{\left(5 x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \cos{\left(5 x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 5 \sin{\left(5 x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - \frac{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = \frac{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}{50} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x}{10} + \frac{\tan{\left(5 x \right)}}{5 \cdot \left(10 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 10\right)}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + C_{2}{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$$
Получаем окончательный ответ:

Answer: $$y{\left(x \right)} = \frac{\sin^{3}{\left(5 x \right)}}{50} + C_{3} \sin{\left(5 x \right)} + C_{4} \cos{\left(5 x \right)} - \frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{10} + \frac{\cos{\left(5 x \right)} \tan{\left(5 x \right)}}{50 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 50}$$

где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы

Ответ [src]

                     /     x \         
y(x) = C2*sin(5*x) + |C1 - --|*cos(5*x)
                     \     10/

$$y{\left(x \right)} = C_{2} \sin{\left(5 x \right)} + \left(C_{1} - \frac{x}{10}\right) \cos{\left(5 x \right)}$$

Построить график при C=-1

Построить график при C=0

Построить график при C=1

Ответ (#2) [src]

$$y\left(x\right)={{\sin \left(5\,x\right)\,\left(10\,\left(\left.{{d }\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}\right)+1\right)}\over{50 }}-{{x\,\cos \left(5\,x\right)}\over{10}}+y\left(0\right)\,\cos \left(5\,x\right)$$

y = (sin(5*x)*(10*('at('diff(y,x,1),x = 0))+1))/50-(x*cos(5*x))/10+y(0)*cos(5*x)

Классификация

nth linear constant coeff undetermined coefficients

nth linear constant coeff variation of parameters

nth linear constant coeff variation of parameters Integral

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Дифференциальное уравнение y"+25y=sin5x

Для задачи Коши:

График:

Решение

Step

Step

Step