Дифференциальное уравнение xdy=(1+y^2)dx

Step

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{x}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} \right)}$$