Господин Экзамен
Дифференциальное уравнение y"-8y'+16y
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
⌨
Решение
Вы ввели
[src]
2
d d
- 8*--(y(x)) + 16*y(x) + ---(y(x)) = 0
dx 2
dx
$$16 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
16*y - 8*y' + y'' = 0
Подробное решение
Step
Дано уравнение:
$$16 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = -8$$
$$q = 16$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.
Step
Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 8 k + 16 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = 4$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = 4$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{4 x} + C_{1} e^{4 x}$$
Ответ (#2)
[src]
$$y\left(x\right)=x\,e^{4\,x}\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x
\right)\right|_{x=0}\right)-4\,y\left(0\right)\,x\,e^{4\,x}+y\left(0
\right)\,e^{4\,x}$$
y = x*E^(4*x)*('at('diff(y,x,1),x = 0))-4*y(0)*x*E^(4*x)+y(0)*E^(4*x)
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous