Дифференциальное уравнение y’’-4y’+4y=x^2

Step

Дано уравнение:
$$4 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x^{2}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = -4$$
$$q = 4$$
$$s = - x^{2}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 4 k + 4 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = 2$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = 2$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{2 x} + C_{1} e^{2 x}$$

Step

Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{2 x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = x e^{2 x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$
Значит, система примет вид:
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = x^{2}$$
или
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x}\right) \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = x^{2}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - x^{3} e^{- 2 x}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = x^{2} e^{- 2 x}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x^{3} e^{- 2 x}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int x^{2} e^{- 2 x}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 3\right) e^{- 2 x}}{8}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{\left(2 x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- 2 x}}{4}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{2 x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Получаем окончательный ответ:

Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{4} x e^{2 x} + C_{3} e^{2 x} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{3}{8}$$

где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы