Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y''-7y'+8y=0

Дифференциальное уравнение y''-7y'+8y=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                          2          
    d                    d           
- 7*--(y(x)) + 8*y(x) + ---(y(x)) = 0
    dx                    2          
                        dx
$$8 y{\left(x \right)} - 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$ 
8*y - 7*y' + y'' = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$8 y{\left(x \right)} - 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = -7$$
$$q = 8$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 7 k + 8 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$k_{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}\right)}$$
Ответ [src] 
             /      ____\         /      ____\
           x*\7 - \/ 17 /       x*\7 + \/ 17 /
           --------------       --------------
                 2                    2       
y(x) = C1*e               + C2*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(- \sqrt{17} + 7\right)}{2}} + C_{2} e^{\frac{x \left(\sqrt{17} + 7\right)}{2}}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=e^{{{7\,x}\over{2}}}\,\left({{\sinh \left({{\sqrt{ 17}\,x}\over{2}}\right)\,\left(2\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y \left(x\right)\right|_{x=0}-7\,y\left(0\right)\right)+7\,y\left(0 \right)\right)}\over{\sqrt{17}}}+y\left(0\right)\,\cosh \left({{ \sqrt{17}\,x}\over{2}}\right)\right)$$ 
y = E^((7*x)/2)*((sinh((sqrt(17)*x)/2)*(2*('at('diff(y,x,1),x = 0)-7*y(0))+7*y(0)))/sqrt(17)+y(0)*cosh((sqrt(17)*x)/2))
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous
    © Господин Экзамен – Калькулятор