Дифференциальное уравнение dy/dt=k(y-a)

Step

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(- a + y{\left(t \right)}\right)$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = - k$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = a - y{\left(t \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(t \right)} \right)}$
$$a - y{\left(t \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{a - y{\left(t \right)}} = - k$$
Этим самым мы разделили переменные t и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dt, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{a - y{\left(t \right)}} = - dt k$$
или
$$\frac{dy}{a - y{\left(t \right)}} = - dt k$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \frac{1}{a - y}\, dy = \int \left(- k\right)\, dt$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(a - y \right)} = - k t + Const$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k t} + a$$