Господин Экзамен
Дифференциальное уравнение y''-2y'+2y=0
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
⌨
Решение
Вы ввели
[src]
2
d d
- 2*--(y(x)) + 2*y(x) + ---(y(x)) = 0
dx 2
dx
$$2 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
2*y - 2*y' + y'' = 0
Подробное решение
Step
Дано уравнение:
$$2 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = -2$$
$$q = 2$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.
Step
Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 2 k + 2 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = 1 - i$$
$$k_{2} = 1 + i$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + i\right)}$$
Ответ
[src]
x y(x) = (C1*sin(x) + C2*cos(x))*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Ответ (#2)
[src]
$$y\left(x\right)=e^{x}\,\left({{\sin x\,\left(2\,\left(\left.{{d
}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}-2\,y\left(0\right)
\right)+2\,y\left(0\right)\right)}\over{2}}+y\left(0\right)\,\cos x
\right)$$
y = E^x*((sin(x)*(2*('at('diff(y,x,1),x = 0)-2*y(0))+2*y(0)))/2+y(0)*cos(x))
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous