Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y''-2y'-2y=0

Дифференциальное уравнение y''-2y'-2y=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                          2          
    d                    d           
- 2*--(y(x)) - 2*y(x) + ---(y(x)) = 0
    dx                    2          
                        dx
$$- 2 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$ 
-2*y - 2*y' + y'' = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$- 2 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = -2$$
$$q = -2$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 2 k - 2 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = - \sqrt{3} + 1$$
$$k_{2} = 1 + \sqrt{3}$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \sqrt{3} + 1\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{3}\right)}$$
Ответ [src] 
             /      ___\         /      ___\
           x*\1 - \/ 3 /       x*\1 + \/ 3 /
y(x) = C1*e              + C2*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \sqrt{3} + 1\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{3}\right)}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=e^{x}\,\left({{\sinh \left(\sqrt{3}\,x\right)\, \left(2\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}- 2\,y\left(0\right)\right)+2\,y\left(0\right)\right)}\over{2\,\sqrt{3 }}}+y\left(0\right)\,\cosh \left(\sqrt{3}\,x\right)\right)$$ 
y = E^x*((sinh(sqrt(3)*x)*(2*('at('diff(y,x,1),x = 0)-2*y(0))+2*y(0)))/(2*sqrt(3))+y(0)*cosh(sqrt(3)*x))
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous
    © Господин Экзамен – Калькулятор