Дифференциальное уравнение (1+e^x)ydy=e^xdx

Step

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}$$