Дифференциальное уравнение y’’+2y’+y=2-3x^2

Step

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + 2$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = 2$$
$$q = 1$$
$$s = 3 x^{2} - 2$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + 2 k + 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = -1$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = -1$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{- x} + C_{1} e^{- x}$$

Step

Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{- x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{- x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = x e^{- x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + 2$$
Значит, система примет вид:
$$x e^{- x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} = - 3 x^{2} + 2$$
или
$$x e^{- x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- x e^{- x} + e^{- x}\right) \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + 2$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 3 x^{3} e^{x} - 2 x e^{x}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - 3 x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(3 x^{3} e^{x} - 2 x e^{x}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- 3 x^{2} e^{x} + 2 e^{x}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = - \left(2 x - 2\right) e^{x} + \left(3 x^{3} - 9 x^{2} + 18 x - 18\right) e^{x} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = - \left(3 x^{2} - 6 x + 6\right) e^{x} + C_{4} + 2 e^{x}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = x C_{2}{\left(x \right)} e^{- x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Получаем окончательный ответ:

Answer: $$y{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + C_{4} x e^{- x} + 12 x + C_{3} e^{- x} - 16$$

где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы