Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ e^x+3y*dy=xdx

Дифференциальное уравнение e^x+3y*dy=xdx

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
 x                      
e      d                
-- + 3*--(y(x))*y(x) = x
dx     dx
$$3 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{dx} = x$$ 
3*y*y' + exp(x)/dx = x
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$3 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{dx} = x$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - dx x + e^{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \frac{1}{3 dx y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$- \frac{1}{3 dx y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- 3 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x + e^{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- 3 dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- dx x + e^{x}\right)$$
или
$$- 3 dx dy y{\left(x \right)} = dx \left(- dx x + e^{x}\right)$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- 3 dx y\right)\, dy = \int \left(- dx x + e^{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{3 dx y^{2}}{2} = - \frac{dx x^{2}}{2} + Const + e^{x}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \begin{cases} - \frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 e^{x}}{dx}}}{3} & \text{for}\: dx > 0 \vee dx < 0 \\- \frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 x}{dx}}}{3} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \begin{cases} \frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 e^{x}}{dx}}}{3} & \text{for}\: dx > 0 \vee dx < 0 \\\frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 x}{dx}}}{3} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Ответ [src] 
       /      _____________________                         
       |     /                   x                          
       |    /     2           6*e                           
       |-  /   3*x  + 18*C1 - ----                          
       | \/                    dx                           
       |----------------------------  for Or(dx > 0, dx < 0)
       |             3                                      
y(x) = <                                                    
       |      ____________________                          
       |     /    2           6*x                           
       | -  /  3*x  + 18*C1 - ---                           
       |  \/                   dx                           
       | --------------------------         otherwise       
       |             3                                      
       \
$$y{\left(x \right)} = \begin{cases} - \frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 e^{x}}{dx}}}{3} & \text{for}\: dx > 0 \vee dx < 0 \\- \frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 x}{dx}}}{3} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1 
       /     _____________________                        
       |    /                   x                         
       |   /     2           6*e                          
       |  /   3*x  + 18*C1 - ----                         
       |\/                    dx                          
       |--------------------------  for Or(dx > 0, dx < 0)
       |            3                                     
y(x) = <                                                  
       |     ____________________                         
       |    /    2           6*x                          
       |   /  3*x  + 18*C1 - ---                          
       | \/                   dx                          
       | ------------------------         otherwise       
       |            3                                     
       \
$$y{\left(x \right)} = \begin{cases} \frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 e^{x}}{dx}}}{3} & \text{for}\: dx > 0 \vee dx < 0 \\\frac{\sqrt{3 x^{2} + 18 C_{1} - \frac{6 x}{dx}}}{3} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Классификация
1st exact
1st exact Integral
1st power series
Bernoulli
Bernoulli Integral
factorable
lie group
separable
separable Integral
    © Господин Экзамен – Калькулятор