Дифференциальное уравнение (xy+e^x)dx-xdy=0

Step

Разделим обе части уравнения на множитель при производной y':
$$- x$$
Получим уравнение:
$$- \frac{x y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{x}}{x} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y' + P(x)y = Q(x)$$
где
$$P{\left(x \right)} = -1$$
и
$$Q{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{x}$$
и называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1го порядка:

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y' + P(x)y = 0$$
с разделяющимися переменными.
Данное уравнение решается следущими шагами:
Из $y' + P(x)y = 0$ получаем
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = -1$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx = \int \left(-1\right)\, dx = - x + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного уравнения:
$$y_{1} = e^{C_{1} + x}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + x}$$
что соответствует решению с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C e^{x}$$
Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения.

Step

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение:
$$y' + P(x)y = Q(x)$$
Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x

$$y = C{\left(x \right)} e^{x}$$
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами:
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифференциальное уравнение для C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
Зн.,
$$C{\left(x \right)} = \int \frac{1}{x}\, dx = \log{\left(x \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
подставим C(x) в
$$y = C{\left(x \right)} e^{x}$$
и получим окончательный ответ для y(x):

Answer: $$e^{x} \left(\log{\left(x \right)} + Const\right)$$