Дифференциальное уравнение 7y′′+y′−3y=x5

Step

Разделим обе части уравнения на множитель при производной y'':
$$7$$
Получим уравнение:
$$- \frac{3 y{\left(x \right)}}{7} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{7} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = \frac{1}{7}$$
$$q = - \frac{3}{7}$$
$$s = - \frac{x_{5}}{7}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + \frac{k}{7} - \frac{3}{7} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}$$
$$k_{2} = - \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)}$$

Step

Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + C_{2}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
или
$$e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right) e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right) e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{- \frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{- \frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{- \frac{\sqrt{85} x}{14} + \frac{x}{14}}}{85 \cdot \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} + \frac{1}{14}\right)} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14} + \frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85 \cdot \left(\frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + C_{4}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + C_{2}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)}$$
Получаем окончательный ответ:

Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{14}} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}} + \frac{\sqrt{85} x_{5}}{- \frac{85 \sqrt{85}}{14} + \frac{85}{14}} - \frac{\sqrt{85} x_{5}}{\frac{85}{14} + \frac{85 \sqrt{85}}{14}} + C_{4} e^{- \frac{x}{14}} e^{- \frac{\sqrt{85} x}{14}}$$

где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы