Дифференциальное уравнение 4tx(dx/dt)=x^2+1

Step

Дано уравнение:
$$4 t x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = x^{2}{\left(t \right)} + 1$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(x)\ x' = f_2(x)\ g_2(x)$$
где
$$f_{1}{\left(t \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(t \right)} = - \frac{1}{t}$$
$$g_{2}{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}{\left(t \right)} + 1}{4 x{\left(t \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(x)}{g_2(x)}\ x'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(x{\left(t \right)} \right)}$
$$- \frac{x^{2}{\left(t \right)} + 1}{4 x{\left(t \right)}}$$
получим
$$- \frac{4 x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)} + 1} = - \frac{1}{t}$$
Этим самым мы разделили переменные t и x.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dt, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{4 dt x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)} + 1} = - \frac{dt}{t}$$
или
$$- \frac{4 dx x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)} + 1} = - \frac{dt}{t}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по x,
- от правой части интеграл по t.
$$\int \left(- \frac{4 x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = \int \left(- \frac{1}{t}\right)\, dt$$
Подробное решение интеграла с x
Подробное решение интеграла с t
Возьмём эти интегралы
$$- 2 \log{\left(x^{2} + 1 \right)} = Const - \log{\left(t \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной x.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$x_{1} = x{\left(t \right)} = - \sqrt{C_{1} \sqrt{t} - 1}$$
$$x_{2} = x{\left(t \right)} = \sqrt{C_{1} \sqrt{t} - 1}$$