Производная x*sin(pi/x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{\pi}{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi}{x}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{\pi}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$

   В результате: $\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}$

Ответ:

$\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}$