Производная x*sec(x)^(2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sec{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sec{\left(x \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\sec{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \sin{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{2 x \sin{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{2 x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$