Производная x*(5-x)^3

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \left(5 - x\right)^{3}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 - x$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 - x\right)$:

      1. дифференцируем $5 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- 3 \left(5 - x\right)^{2}$

   В результате: $- 3 x \left(5 - x\right)^{2} + \left(5 - x\right)^{3}$

2. Теперь упростим:

   $\left(5 - 4 x\right) \left(x - 5\right)^{2}$

Ответ:

$\left(5 - 4 x\right) \left(x - 5\right)^{2}$