Производная x*sqrt(x^2-3*x+4)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 3 x + 4}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2} - 3 x + 4$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 3 x + 4\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 3 x + 4$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $3$

            Таким образом, в результате: $-3$

         3. Производная постоянной $4$ равна нулю.

         В результате: $2 x - 3$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x - 3}{2 \sqrt{x^{2} - 3 x + 4}}$

   В результате: $\frac{x \left(2 x - 3\right)}{2 \sqrt{x^{2} - 3 x + 4}} + \sqrt{x^{2} - 3 x + 4}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4 x^{2} - 9 x + 8}{2 \sqrt{x^{2} - 3 x + 4}}$

Ответ:

$\frac{4 x^{2} - 9 x + 8}{2 \sqrt{x^{2} - 3 x + 4}}$