Производная x*(cos(x)-sin(inx))

Решение

Вы ввели [src]

x*(cos(x) - sin(log(x)))

$$x \left(- \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$$

d                           
--(x*(cos(x) - sin(log(x))))
dx

$$\frac{d}{d x} x \left(- \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
$g{\left(x \right)} = - \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $- \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Заменим $u = \log{\left(x \right)}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$ :
      1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$ .
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
    Таким образом, в результате: $- \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
  В результате: $- \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
В результате: $x \left(- \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) - \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}$
Теперь упростим:

$- x \sin{\left(x \right)} - \sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x \right)}$

Ответ:

$- x \sin{\left(x \right)} - \sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x \right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                 /          cos(log(x))\         
-sin(log(x)) + x*|-sin(x) - -----------| + cos(x)
                 \               x     /

$$x \left(- \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) - \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /          cos(log(x))   sin(log(x))\   2*cos(log(x))
-2*sin(x) + x*|-cos(x) + ----------- + -----------| - -------------
              |                2             2    |         x      
              \               x             x     /

$$x \left(- \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

              /          cos(log(x))   3*sin(log(x))\   3*cos(log(x))   3*sin(log(x))
-3*cos(x) - x*|-sin(x) + ----------- + -------------| + ------------- + -------------
              |                3              3     |          2               2     
              \               x              x      /         x               x

$$- x \left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) - 3 \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{3 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная x*(cos(x)-sin(inx))

График:

Кусочно-заданная:

Решение