Производная 3*x^3/sin(x)

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x^{3}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{3 \left(- x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}\right)}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 x^{2} \left(- \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + 3\right)}{\sin{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{3 x^{2} \left(- \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + 3\right)}{\sin{\left(x \right)}}$