Производная (tan(3*x))^5

Решение

Вы ввели [src]

   5     
tan (3*x)

$$\tan^{5}{\left(3 x \right)}$$

d /   5     \
--\tan (3*x)/
dx

$$\frac{d}{d x} \tan^{5}{\left(3 x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(3 x \right)}$ .
В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 3 x$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $3$
    В результате последовательности правил:
    
    $3 \cos{\left(3 x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 3 x$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $3$
    В результате последовательности правил:
    
    $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{5 \cdot \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{15 \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

Ответ:

$\frac{15 \tan^{4}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   4      /           2     \
tan (3*x)*\15 + 15*tan (3*x)/

$$\left(15 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 15\right) \tan^{4}{\left(3 x \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

      3      /       2     \ /         2     \
90*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/*\2 + 3*tan (3*x)/

$$90 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right) \tan^{3}{\left(3 x \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                              /                               2                               \
       2      /       2     \ |     4          /       2     \          2      /       2     \|
270*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/*\2*tan (3*x) + 6*\1 + tan (3*x)/  + 13*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)//

$$270 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(2 \tan^{4}{\left(3 x \right)} + 13 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (tan(3*x))^5

График:

Кусочно-заданная:

Решение