Производная tan((pi*x)/6)

Решение

Вы ввели [src]

   /pi*x\
tan|----|
   \ 6  /

$$\tan{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}$$

d /   /pi*x\\
--|tan|----||
dx\   \ 6  //

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\tan{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}$
Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{\pi x}{6}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{6}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{6}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{6}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{\pi x}{6}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{6}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{6}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{6}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{6} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{6}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\pi}{6 \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\pi}{6 \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   /       2/pi*x\\
pi*|1 + tan |----||
   \        \ 6  //
-------------------
         6

$$\frac{\pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1\right)}{6}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  2 /       2/pi*x\\    /pi*x\
pi *|1 + tan |----||*tan|----|
    \        \ 6  //    \ 6  /
------------------------------
              18

$$\frac{\pi^{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{18}$$

Упростить

Третья производная [src]

  3 /       2/pi*x\\ /         2/pi*x\\
pi *|1 + tan |----||*|1 + 3*tan |----||
    \        \ 6  // \          \ 6  //
---------------------------------------
                  108

$$\frac{\pi^{3} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1\right)}{108}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan((pi*x)/6)

График:

Кусочно-заданная:

Решение