Производная t*e^(-t)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = t$ и $g{\left(t \right)} = e^{t}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Производная $e^{t}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- t e^{t} + e^{t}\right) e^{- 2 t}$

2. Теперь упростим:

   $\left(1 - t\right) e^{- t}$

Ответ:

$\left(1 - t\right) e^{- t}$