Производная sin(x)*sin(45-x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(45 - x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 45 - x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(45 - x\right)$:

      1. дифференцируем $45 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $45$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- \cos{\left(x - 45 \right)}$

   В результате: $- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x - 45 \right)} + \sin{\left(45 - x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- \sin{\left(2 x - 45 \right)}$

Ответ:

$- \sin{\left(2 x - 45 \right)}$