Производная (sin(x))/(1-sin(x))

Решение

Вы ввели [src]

  sin(x)  
----------
1 - sin(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 1}$$

d /  sin(x)  \
--|----------|
dx\1 - sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 1 - \sin{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $1 - \sin{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Таким образом, в результате: $- \cos{\left(x \right)}$
  В результате: $- \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  cos(x)     cos(x)*sin(x)
---------- + -------------
1 - sin(x)               2
             (1 - sin(x))

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 1} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(- \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /      2             \                
              | 2*cos (x)          |                
      2       |----------- + sin(x)|*sin(x)         
 2*cos (x)    \-1 + sin(x)         /                
----------- - ----------------------------- + sin(x)
-1 + sin(x)            -1 + sin(x)                  
----------------------------------------------------
                    -1 + sin(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)} - \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

/                                             /                          2      \       \       
|      /      2             \                 |       6*sin(x)      6*cos (x)   |       |       
|      | 2*cos (x)          |                 |-1 + ----------- + --------------|*sin(x)|       
|    3*|----------- + sin(x)|                 |     -1 + sin(x)                2|       |       
|      \-1 + sin(x)         /     3*sin(x)    \                   (-1 + sin(x)) /       |       
|1 - ------------------------ - ----------- + ------------------------------------------|*cos(x)
\          -1 + sin(x)          -1 + sin(x)                  -1 + sin(x)                /       
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                          -1 + sin(x)

$$\frac{\left(\frac{\left(-1 + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right)}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (sin(x))/(1-sin(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение