Производная (sin(2*x)^(3)*cos(8*x)^5)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}$:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $6 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos^{5}{\left(8 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(8 x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(8 x \right)}$:

      1. Заменим $u = 8 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 8 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $8$

         В результате последовательности правил:

         $- 8 \sin{\left(8 x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 40 \sin{\left(8 x \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)}$

   В результате: $- 40 \sin^{3}{\left(2 x \right)} \sin{\left(8 x \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)} + 6 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos^{5}{\left(8 x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- 40 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(8 x \right)} + 6 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(8 x \right)}\right) \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)}$

Ответ:

$\left(- 40 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(8 x \right)} + 6 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(8 x \right)}\right) \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)}$