Производная sin(2*x+pi/2)-(x+pi^2)/x

1. дифференцируем $\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{2} \right)} - \frac{x + \pi^{2}}{x}$ почленно:

   1. Заменим $u = 2 x + \frac{\pi}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x + \frac{\pi}{2}\right)$:

      1. дифференцируем $2 x + \frac{\pi}{2}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $\frac{\pi}{2}$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x + \pi^{2}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. дифференцируем $x + \pi^{2}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $\pi^{2}$ равна нулю.

            В результате: $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{\pi^{2}}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\pi^{2}}{x^{2}}$

   В результате: $- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\pi^{2}}{x^{2}}$

Ответ:

$- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\pi^{2}}{x^{2}}$