Производная (5^(2*x)+1)/5^x

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{2 x} + 1$ и $g{\left(x \right)} = 5^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $5^{2 x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 2 x$.

      3. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)}$

      В результате: $2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left(5 \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $5^{- 2 x} \left(2 \cdot 5^{3 x} \log{\left(5 \right)} - 5^{x} \left(5^{2 x} + 1\right) \log{\left(5 \right)}\right)$

2. Теперь упростим:

   $25^{- x} \left(125^{x} - 5^{x}\right) \log{\left(5 \right)}$

Ответ:

$25^{- x} \left(125^{x} - 5^{x}\right) \log{\left(5 \right)}$