Производная (1/x+8)*(5*x-2)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(5 x - 2\right) \left(8 x + 1\right)$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 8 x + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $8 x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $8$

         В результате: $8$

      $g{\left(x \right)} = 5 x - 2$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $5 x - 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате: $5$

      В результате: $80 x - 11$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x \left(80 x - 11\right) - \left(5 x - 2\right) \left(8 x + 1\right)}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $40 + \frac{2}{x^{2}}$

Ответ:

$40 + \frac{2}{x^{2}}$