Производная -2*sin(t*cos(t))

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = t \cos{\left(t \right)}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} t \cos{\left(t \right)}$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

         $f{\left(t \right)} = t$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

         В результате: $- t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $\left(- t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \cos{\left(t \right)} \right)}$

   Таким образом, в результате: $- 2 \left(- t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \cos{\left(t \right)} \right)}$

2. Теперь упростим:

   $2 \left(t \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \cos{\left(t \right)} \right)}$

Ответ:

$2 \left(t \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \cos{\left(t \right)} \right)}$