Производная log(sin(x))/log(cos(x))

Решение

Вы ввели [src]

log(sin(x))
-----------
log(cos(x))

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$$

d /log(sin(x))\
--|-----------|
dx\log(cos(x))/

$$\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

      cos(x)          log(sin(x))*sin(x)
------------------ + -------------------
log(cos(x))*sin(x)             2        
                     cos(x)*log (cos(x))

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                             /       2                2        \            
                             |    sin (x)        2*sin (x)     |            
                             |1 + ------- + -------------------|*log(sin(x))
                      2      |       2         2               |            
          2        cos (x)   \    cos (x)   cos (x)*log(cos(x))/            
-1 + ----------- - ------- + -----------------------------------------------
     log(cos(x))      2                        log(cos(x))                  
                   sin (x)                                                  
----------------------------------------------------------------------------
                                log(cos(x))

$$\frac{\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1 + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} - 1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /       2   \            /       2   \            /       2                2        \            /                     2                2                     2         \                   
  |    cos (x)|            |    cos (x)|            |    sin (x)        2*sin (x)     |            |         3        sin (x)        3*sin (x)             3*sin (x)      |                   
2*|1 + -------|*cos(x)   3*|1 + -------|*sin(x)   3*|1 + ------- + -------------------|*cos(x)   2*|1 + ----------- + ------- + ------------------- + --------------------|*log(sin(x))*sin(x)
  |       2   |            |       2   |            |       2         2               |            |    log(cos(x))      2         2                     2       2        |                   
  \    sin (x)/            \    sin (x)/            \    cos (x)   cos (x)*log(cos(x))/            \                  cos (x)   cos (x)*log(cos(x))   cos (x)*log (cos(x))/                   
---------------------- - ---------------------- + -------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------------
        sin(x)             cos(x)*log(cos(x))                  log(cos(x))*sin(x)                                                      cos(x)*log(cos(x))                                     
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                         log(cos(x))

$$\frac{\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1 + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}} - \frac{3 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1 + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(sin(x))/log(cos(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение