Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- Производная неявно заданной функции
- Производная параметрической функции
- Частная производная функции
- Исследование функции по шагам
- Интеграл по шагам
- Дифференциальные уравнения по шагам
- Пределы по шагам
-
Как пользоваться?
- Производная:
-
Производная e^x*cot(x)
-
Производная log(log(tan(x)/log(5)))/log(16)
- Производная x*e^(-1)
- Производная sqrt((x^2)+4*x+20)
-
Идентичные выражения
- log(((один +x^ два)^ два - один)/((один +x^ два)^ два + один))
- логарифм от (((1 плюс x в квадрате ) в квадрате минус 1) делить на ((1 плюс x в квадрате ) в квадрате плюс 1))
- логарифм от (((один плюс x в степени два) в степени два минус один) делить на ((один плюс x в степени два) в степени два плюс один))
- log(((1+x2)2-1)/((1+x2)2+1))
- log1+x22-1/1+x22+1
- log(((1+x²)²-1)/((1+x²)²+1))
- log(((1+x в степени 2) в степени 2-1)/((1+x в степени 2) в степени 2+1))
- log1+x^2^2-1/1+x^2^2+1
- log(((1+x^2)^2-1) разделить на ((1+x^2)^2+1))
-
Похожие выражения
- log(((1+x^2)^2-1)/((1+x^2)^2-1))
- log(((1+x^2)^2-1)/((1-x^2)^2+1))
- log(((1-x^2)^2-1)/((1+x^2)^2+1))
- log(((1+x^2)^2+1)/((1+x^2)^2+1))
Производная log(((1+x^2)^2-1)/((1+x^2)^2+1))
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2 \ |/ 2\ | |\1 + x / - 1| log|-------------| | 2 | |/ 2\ | \\1 + x / + 1/
$$\log{\left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} \right)}$$
/ / 2 \\ | |/ 2\ || d | |\1 + x / - 1|| --|log|-------------|| dx| | 2 || | |/ 2\ || \ \\1 + x / + 1//
$$\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} \right)}$$
Подробное решение
-
Заменим .
-
Производная является .
-
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
-
Применим правило производной частного:
и .
Чтобы найти :
-
дифференцируем почленно:
-
Производная постоянной равна нулю.
-
Заменим .
-
В силу правила, применим: получим
-
-
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
-
дифференцируем почленно:
-
Производная постоянной равна нулю.
-
В силу правила, применим: получим
В результате:
-
В результате последовательности правил:
-
В результате:
-
Чтобы найти :
-
дифференцируем почленно:
-
Производная постоянной равна нулю.
-
Заменим .
-
В силу правила, применим: получим
-
-
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
-
дифференцируем почленно:
-
Производная постоянной равна нулю.
-
В силу правила, применим: получим
В результате:
-
В результате последовательности правил:
-
В результате:
-
Теперь применим правило производной деления:
В результате последовательности правил:
Теперь упростим:
Ответ:
Первая производная
[src]
/ / 2 \\
/ 2 \ | / 2\ / 2\ |/ 2\ ||
|/ 2\ | | 4*x*\1 + x / 4*x*\1 + x /*\\1 + x / - 1/|
\\1 + x / + 1/*|------------- - ----------------------------|
| 2 2 |
|/ 2\ / 2 \ |
|\1 + x / + 1 |/ 2\ | |
\ \\1 + x / + 1/ /
--------------------------------------------------------------
2
/ 2\
\1 + x / - 1
$$\frac{\left(\frac{4 x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - \frac{4 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{2}}\right) \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}$$
Вторая производная
[src]
/ / 2\ / 2\ \
| 2 | / 2\ | 2 | / 2\ | |
| 2 / 2\ | -1 + \1 + x / | 2 / 2\ | -1 + \1 + x / | |
| 4*x *\1 + x / *|-1 + --------------| 4*x *\1 + x / *|-1 + --------------| |
| / 2\ 2 / 2\ | 2 | | 2 | 2 / 2\|
| / 2\ | / 2\ | 2 / 2\ 2 | / 2\ | | / 2\ | | / 2\ | 2 / 2\ | / 2\ ||
| 2 \1 + x /*\-1 + \1 + x / / 8*x *\1 + x / 2*x *\-1 + \1 + x / / \ 1 + \1 + x / / \ 1 + \1 + x / / 8*x *\1 + x / *\-1 + \1 + x / /|
4*|1 + 3*x - ------------------------- - -------------- - --------------------- - ------------------------------------ + ------------------------------------ + -------------------------------|
| 2 2 2 2 2 2 |
| / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ |
| 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / -1 + \1 + x / | / 2\ | |
\ \1 + \1 + x / / /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
/ 2\
-1 + \1 + x /
$$\frac{4 \left(- \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1} + \frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - \frac{2 x^{2} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 3 x^{2} - \frac{\left(x^{2} + 1\right) \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}$$
Третья производная
[src]
/ / / 2\ 2 / 2\ 2 / 2\\ / / 2\ 2 / 2\ 2 / 2\\ \
| | / 2\ | / 2\ | 2 / 2\ 2 | / 2\ | 2 / 2\ | / 2\ || / 2\ / 2\ | / 2\ | / 2\ | 2 / 2\ 2 | / 2\ | 2 / 2\ | / 2\ || / 2\ / 2\ / 2\ / 2\|
| / 2\ | 2 \1 + x /*\-1 + \1 + x / / 8*x *\1 + x / 2*x *\-1 + \1 + x / / 8*x *\1 + x / *\-1 + \1 + x / /| 2 | / 2\ | 2 | / 2\ | / 2\ | 2 \1 + x /*\-1 + \1 + x / / 8*x *\1 + x / 2*x *\-1 + \1 + x / / 8*x *\1 + x / *\-1 + \1 + x / /| 3 | / 2\ | | / 2\ | | / 2\ | 3 | / 2\ ||
| 4*\1 + x /*|1 + 3*x - ------------------------- - -------------- - --------------------- + -------------------------------| / 2\ | -1 + \1 + x / | / 2\ | -1 + \1 + x / | 4*\1 + x /*|1 + 3*x - ------------------------- - -------------- - --------------------- + -------------------------------| 2 / 2\ | -1 + \1 + x / | 2 / 2\ | -1 + \1 + x / | 2 / 2\ | -1 + \1 + x / | 2 / 2\ | -1 + \1 + x / ||
| | 2 2 2 2 | 2*\1 + x / *|-1 + --------------| 2*\1 + x / *|-1 + --------------| | 2 2 2 2 | 16*x *\1 + x / *|-1 + --------------| 4*x *\1 + x /*|-1 + --------------| 4*x *\1 + x /*|-1 + --------------| 16*x *\1 + x / *|-1 + --------------||
| 2 / 2\ | / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ | | 2 | | 2 | | / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ | 2 / 2\ 3 3 / 2\ | 2 | | 2 | | 2 | / 2\ | 2 ||
| / 2\ | / 2\ | 2 / 2\ | 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / | / 2\ | | | / 2\ | | / 2\ | | 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / | / 2\ | | / 2\ | / 2\ | 2 / 2\ 2 / 2\ | / 2\ | | / 2\ | | / 2\ | | / 2\ | 2 / 2\ | / 2\ | | / 2\ ||
| 12*\1 + x / 3*\-1 + \1 + x / / 24*x *\1 + x / \ \1 + \1 + x / / / \ 1 + \1 + x / / \ 1 + \1 + x / / \ \1 + \1 + x / / / 12*\1 + x / *\-1 + \1 + x / / 48*x *\1 + x / 48*x *\1 + x / *\-1 + \1 + x / / \ 1 + \1 + x / / \ 1 + \1 + x / / \ 1 + \1 + x / / 24*x *\1 + x /*\-1 + \1 + x / / \ 1 + \1 + x / /|
8*x*|3 - ------------- - ------------------ - -------------- - ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - --------------------------------- + --------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ----------------------------- + ---------------- - -------------------------------- - ------------------------------------- - ----------------------------------- + ----------------------------------- + ------------------------------- + -------------------------------------|
| 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 / 2\ / 2\ |
| / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ | / 2\ | | / 2\ | |
| 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / 1 + \1 + x / -1 + \1 + x / 1 + \1 + x / -1 + \1 + x / 1 + \1 + x / | / 2\ | | / 2\ | | / 2\ | | / 2\ | 1 + \1 + x / -1 + \1 + x / | / 2\ | \1 + \1 + x / /*\-1 + \1 + x / / |
\ \1 + \1 + x / / \1 + \1 + x / / \1 + \1 + x / / \-1 + \1 + x / / \1 + \1 + x / / /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
/ 2\
-1 + \1 + x /
$$\frac{8 x \left(\frac{16 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{3} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right) \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)} - \frac{16 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{3} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{48 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{3} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{48 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{3}}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1} + \frac{24 x^{2} \left(x^{2} + 1\right) \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{24 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1} + \frac{12 \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{12 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + \frac{4 \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - \frac{2 x^{2} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 3 x^{2} - \frac{\left(x^{2} + 1\right) \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - \frac{4 \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} - \frac{2 x^{2} \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 3 x^{2} - \frac{\left(x^{2} + 1\right) \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1} - \frac{3 \left(\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} - 1}$$
График