Производная cot(7*x)^4

1. Заменим $u = \cot{\left(7 x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(7 x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(7 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(7 x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(7 x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(7 x \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(7 x \right)} = \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{\cos{\left(7 x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = 7 x$.

            2. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 7 x$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $7$

               В результате последовательности правил:

               $7 \cos{\left(7 x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = 7 x$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 7 x$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $7$

               В результате последовательности правил:

               $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)} \tan^{2}{\left(7 x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(7 x \right)} = \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{\sin{\left(7 x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 7 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 7 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $7$

            В результате последовательности правил:

            $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 7 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 7 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $7$

            В результате последовательности правил:

            $7 \cos{\left(7 x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- 7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} - 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}}{\sin^{2}{\left(7 x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \cdot \left(7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}\right) \cot^{3}{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)} \tan^{2}{\left(7 x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{28 \cos^{3}{\left(7 x \right)}}{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{28 \cos^{3}{\left(7 x \right)}}{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}$