Производная cos(x)*sin(x)*e^cos(x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   $h{\left(x \right)} = e^{\cos{\left(x \right)}}$; найдём $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}$

   В результате: $- e^{\cos{\left(x \right)}} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - e^{\cos{\left(x \right)}} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{\cos{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{4}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{4}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}$