Производная cos(x)/tan(x)

Решение

Вы ввели [src]

cos(x)
------
tan(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

d /cos(x)\
--|------|
dx\tan(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \left(1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}$

Ответ:

$- \left(1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

           /        2   \       
  sin(x)   \-1 - tan (x)/*cos(x)
- ------ + ---------------------
  tan(x)             2          
                  tan (x)

$$\frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

            /       2   \                          /            2   \       
          2*\1 + tan (x)/*sin(x)     /       2   \ |     1 + tan (x)|       
-cos(x) + ---------------------- + 2*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*cos(x)
                  tan(x)                           |          2     |       
                                                   \       tan (x)  /       
----------------------------------------------------------------------------
                                   tan(x)

$$\frac{2 \left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                                                                                   /            2   \       
                                                                                                     /       2   \ |     1 + tan (x)|       
           /                               2                  3\                                   6*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*sin(x)
           |                  /       2   \      /       2   \ |            /       2   \                          |          2     |       
sin(x)     |         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |          3*\1 + tan (x)/*cos(x)                   \       tan (x)  /       
------ - 2*|2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|*cos(x) + ---------------------- - -----------------------------------------
tan(x)     |                       2                  4        |                    2                                tan(x)                 
           \                    tan (x)            tan (x)     /                 tan (x)

$$- \frac{6 \left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - 2 \cdot \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cos(x)/tan(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение