Производная cos(x)/(sin(x)-1)

Решение

Вы ввели [src]

  cos(x)  
----------
sin(x) - 1

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

d /  cos(x)  \
--|----------|
dx\sin(x) - 1/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - 1$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} - 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате: $\cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}$

Ответ:

$\frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                     2      
    sin(x)        cos (x)   
- ---------- - -------------
  sin(x) - 1               2
               (sin(x) - 1)

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/           2                           \       
|      2*cos (x)                        |       
|     ----------- + sin(x)              |       
|     -1 + sin(x)              2*sin(x) |       
|-1 + -------------------- + -----------|*cos(x)
\         -1 + sin(x)        -1 + sin(x)/       
------------------------------------------------
                  -1 + sin(x)

$$\frac{\left(-1 + \frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

                      /                          2      \                                           
                 2    |       6*sin(x)      6*cos (x)   |     /      2             \                
              cos (x)*|-1 + ----------- + --------------|     | 2*cos (x)          |                
      2               |     -1 + sin(x)                2|   3*|----------- + sin(x)|*sin(x)         
 3*cos (x)            \                   (-1 + sin(x)) /     \-1 + sin(x)         /                
----------- - ------------------------------------------- - ------------------------------- + sin(x)
-1 + sin(x)                   -1 + sin(x)                             -1 + sin(x)                   
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                            -1 + sin(x)

$$\frac{- \frac{\left(-1 + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cos(x)/(sin(x)-1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение