Господин Экзамен

Lang:

Производная функции/ f*(x)^g*(x)

Производная f(x)^g(x)

Решение

Вы ввели [src]

   g  
f*x *x

$$f x x^{g}$$

d /   g  \
--\f*x *x/
dx

$$\frac{\partial}{\partial x} f x x^{g}$$

Преобразовать

Подробное решение

Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  $g{\left(x \right)} = x^{g}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x^{g}$ получим $\frac{g x^{g}}{x}$
  В результате: $g x^{g} + x^{g}$
Таким образом, в результате: $f \left(g x^{g} + x^{g}\right)$
Теперь упростим:

$f x^{g} \left(g + 1\right)$

Ответ:

$f x^{g} \left(g + 1\right)$

Первая производная [src]

   g        g
f*x  + f*g*x

$$f g x^{g} + f x^{g}$$

Упростить

Вторая производная [src]

     g        
f*g*x *(1 + g)
--------------
      x

$$\frac{f g x^{g} \left(g + 1\right)}{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

     g /      2\
f*g*x *\-1 + g /
----------------
        2       
       x

$$\frac{f g x^{g} \left(g^{2} - 1\right)}{x^{2}}$$

Упростить