Господин Экзамен

Lang:

Производная e^x*sin(x)^(2)

Вы ввели [src]

 x    2   
e *sin (x)

$$e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}$$

d / x    2   \
--\e *sin (x)/
dx

$$\frac{d}{d x} e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = e^{x}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная $e^{x}$ само оно.
$g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
В результате: $e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Теперь упростим:

$\left(\sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) e^{x}$

Ответ:

$\left(\sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) e^{x}$

График

Первая производная [src]

   2     x             x       
sin (x)*e  + 2*cos(x)*e *sin(x)

$$e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/     2           2                     \  x
\- sin (x) + 2*cos (x) + 4*cos(x)*sin(x)/*e

$$\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

/       2           2                     \  x
\- 5*sin (x) + 6*cos (x) - 2*cos(x)*sin(x)/*e

$$\left(- 5 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x}$$

Упростить

График