Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
1/4*x^4-1/24*x^2
-
x^3-12*x-1
- sqrt((x-1)/(x+1))
- x^3+5*sqrt(x)+7
- Производная:
-
sqrt((x-1)/(x+1))
-
Идентичные выражения
- sqrt((x- один)/(x+ один))
- квадратный корень из ((x минус 1) делить на (x плюс 1))
- квадратный корень из ((x минус один) делить на (x плюс один))
- √((x-1)/(x+1))
- sqrtx-1/x+1
- sqrt((x-1) разделить на (x+1))
-
Похожие выражения
- sqrt((x-1)/(x-1))
- sqrt((x+1)/(x+1))
График функции y = sqrt((x-1)/(x+1))
Решение
Вы ввели
[src]
_______
/ x - 1
f(x) = / -----
\/ x + 1
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$$
f = sqrt((x - 1*1)/(x + 1))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{x - 1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{x - 1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\frac{x - 1}{x + 1} - 1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt((x - 1*1)/(x + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{\frac{- x - 1}{- x + 1}}$$
- Нет
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = - \sqrt{\frac{- x - 1}{- x + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{\frac{- x - 1}{- x + 1}}$$
- Нет
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = - \sqrt{\frac{- x - 1}{- x + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной