Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 4*x-2=2*x+6
-
Уравнение (2x+8)/9=16
-
Уравнение z^8-1=0
-
Уравнение 60y²-20y-5=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x-7*y=-11
- 5*x-7*y=14
- 3*x+2*y=-6
- -2*x+9*y=13
-
Идентичные выражения
- z^ восемь - один = ноль
- z в степени 8 минус 1 равно 0
- z в степени восемь минус один равно ноль
- z8-1=0
- z⁸-1=0
- z^8-1=O
-
Похожие выражения
- z^8+1=0
z^8-1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{8} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 z + 0\right)^{8}} = 1$$
$$\sqrt[8]{\left(1 z + 0\right)^{8}} = -1$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{8} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - i$$
$$w_{4} = i$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z^{8} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 z + 0\right)^{8}} = 1$$
$$\sqrt[8]{\left(1 z + 0\right)^{8}} = -1$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{8} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - i$$
$$w_{4} = i$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = -1
$$z_{1} = -1$$
z_2 = 1
$$z_{2} = 1$$
z_3 = -I
$$z_{3} = - i$$
z_4 = I
$$z_{4} = i$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z_5 = - ----- - -------
2 2
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z_6 = - ----- + -------
2 2
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z_7 = ----- - -------
2 2
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z_8 = ----- + -------
2 2
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
-1 + 1 + -I + I + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) + \left(1\right) + \left(- i\right) + \left(i\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
-1 * 1 * -I * I * - ----- - ------- * - ----- + ------- * ----- - ------- * ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) * \left(1\right) * \left(- i\right) * \left(i\right) * \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
-1
$$-1$$
Численный ответ
[src]
z1 = 1.0
z2 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z3 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z4 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z5 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z6 = 1.0*i
z7 = -1.0
z8 = -1.0*i
z8 = -1.0*i
График