Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение |x^2-x-1|=1
- Уравнение (2-x)^2-x(x+1,5)=4
- Уравнение 12,4-x=16
- Уравнение x^2+13x=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x-6*y=0
- -11*x-3*y=14
- -2*x-3*y=9
- -4*x-3*y=10
-
Идентичные выражения
- z^ три - десять = ноль
- z в кубе минус 10 равно 0
- z в степени три минус десять равно ноль
- z3-10=0
- z³-10=0
- z в степени 3-10=0
- z^3-10=O
-
Похожие выражения
- z^3+10=0
z^3-10=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} - 10 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{10}$$
или
$$z = \sqrt[3]{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = 10^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = 10$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 10$$
где
$$r = \sqrt[3]{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{10}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{10}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z^{3} - 10 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{10}$$
или
$$z = \sqrt[3]{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = 10^1/3
Получим ответ: z = 10^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = 10$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 10$$
где
$$r = \sqrt[3]{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{10}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{10}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -10$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -10$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -10$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -10$$
Быстрый ответ
[src]
3 ____ z_1 = \/ 10
$$z_{1} = \sqrt[3]{10}$$
3 ____ ___ 3 ____
\/ 10 I*\/ 3 *\/ 10
z_2 = - ------ - --------------
2 2
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
3 ____ ___ 3 ____
\/ 10 I*\/ 3 *\/ 10
z_3 = - ------ + --------------
2 2
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ____ ___ 3 ____ 3 ____ ___ 3 ____
3 ____ \/ 10 I*\/ 3 *\/ 10 \/ 10 I*\/ 3 *\/ 10
\/ 10 + - ------ - -------------- + - ------ + --------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{10}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ____ ___ 3 ____ 3 ____ ___ 3 ____
3 ____ \/ 10 I*\/ 3 *\/ 10 \/ 10 I*\/ 3 *\/ 10
\/ 10 * - ------ - -------------- * - ------ + --------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{10}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
10
$$10$$
Численный ответ
[src]
z1 = -1.07721734501594 - 1.86579517236206*i
z2 = 2.15443469003188
z3 = -1.07721734501594 + 1.86579517236206*i
z3 = -1.07721734501594 + 1.86579517236206*i
График